dulce1602: lugar geometrico de la parabola

Concepto de parábola y sus elementos

Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo:

Elementos de la parábola

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija D.

Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p.

Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.

Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.

Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

upongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k) la fórmula es:

26.42 Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación? Dibuja la parábola.

Solución

El valor de

El punto (h, k) corresponde a (1, 0)

La ecuación es:

EJERCITA TU MENTE

Hallar la ecuación de la parábola de
e eje vertical y que pasa

por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6)

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la

recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Concepto y elementos de la elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Demostración de la ecuación de la elipse (origen - horizontal)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “X”.

Caso I Elipse horizontal

La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “X” es

La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir,

Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse

determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica.

Solución

1. Como los coeficientes de

es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas.

C(0, 0)

Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto

El valor de c se determina con la relación Pitagórica

Nota: c es un número positivo, ya que la distancia siempre es positiva.

Demostración de la ecuación de la elipse (origen - vertical)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “Y”.

Caso II Elipse vertical

El eje mayor está en el eje de las y. Las intercepciones en x son (±b, 0) y las intercepciones en y son (0, ±a).
El eje mayor está en el eje de las y.
Dese cuenta que el eje mayor es horizontal si el término

tiene el denominador más grande y vertical si el término

tiene el denominador más grande. Ya que el más grande de los dos denominadores es

, la longitud del eje mayor siempre es 2a y la longitud del eje menor siempre es 2b. La distancia del centro a cualquier foco es |c|.

Hallar la ecuación de una grafica de elipse [centro=(0,0)]

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será: