lugar geometrico de la parabola

Concepto de parábola y sus elementos

Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo:

Elementos de la parábola



Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija D.

Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p.

Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.

Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.

Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

upongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k)  la fórmula es:

26.42 Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación? Dibuja la parábola.

Solución

El valor de 

El punto (h, k) corresponde a (1, 0)

La ecuación es:

EJERCITA TU MENTE

Hallar la ecuación de la parábola de
e eje vertical y que pasa

 por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6)

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la

 recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Concepto y elementos de la elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Demostración de la ecuación de la elipse (origen - horizontal)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “X”.

Caso I Elipse horizontal

La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “X” es 

La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir, 

 

Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse  determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica. 

Solución 

1. Como los coeficientes de  es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas. 

C(0, 0) 

Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto 

 

El valor de c se determina con la relación Pitagórica 

 

Nota: c es un número positivo, ya que la distancia siempre es positiva.

Demostración de la ecuación de la elipse (origen - vertical)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “Y”. 

Caso II Elipse vertical 

El eje mayor está en el eje de las y. Las intercepciones en x son (±b, 0) y las intercepciones en y son (0, ±a).
El eje mayor está en el eje de las y.
Dese cuenta que el eje mayor es horizontal si el término  tiene el denominador más grande y vertical si el término  tiene el denominador más grande. Ya que el más grande de los dos denominadores es , la longitud del eje mayor siempre es 2a y la longitud del eje menor siempre es 2b. La distancia del centro a cualquier foco es |c|.

Hallar la ecuación de una grafica de elipse [centro=(0,0)]

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

  

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

            

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

           

Hallar los elementos de una grafica de elipse [centro=(0,0)]

Ejemplo:
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor



Semidistancia focal



Semieje menor



Ecuación reducida



Excentricidad

Elementos de la elipse (origen) dada su ecuación

Ejemplo:

Dada la ecuación reducida de la elipse  , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

                                                

                                                  

                                                  

                                                        

                                                  

                                                                

EJERCITA TU MENTE

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) 

cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) sea igual a 8.

2 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de

 la elipse de focos: F'(−3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

angulo entre dos rectas

Para calcular el ángulo entre dos rectas (l1 y l2) se debe conocer el valor de la pendiente de cada una de dichas rectas (pendientes que se identifican como m1 y m2).

Ahora es conveniente repasar el tema Recta pendiente para entender el conjunto:

Ver: Recta pendiente

Bien, volvamos a la pendiente. Cuando tenemos ese dato, o sabemos cómo obtenerlo, usaremos la fórmula

Lo cual se lee: el valor del ángulo entre dos rectas será igual a la tangente inversa (tan-1) de la fracción

Hagamos un ejercicio de práctica:

Tenemos una recta AB (l1) cuya pendiente m1 = 1/2, que intercepta a otra recta CD (l2) cuya pendiente m2 = –1/3, encuentre el valor del ángulo que forman al cortarse.

Como es una práctica de aprendizaje, veamos la siguiente figura:

Por la magia de Geogebra vemos que el ángulo AED (α) mide 45°, pero para nuestro ejercicio ese valor no lo conocemos, veamos si lo “encontramos” usando la fórmula propuesta anteriormente:

Como conocemos los valores de las pendientes, simplemente reemplazamos:

Usando la calculadora, sacamos tangente inversa de -1 y resulta 45°

Calcular ángulo entre dos rectas definidas por sus coordenadas

Como vimos cuando estudiamos la recta, hay diferentes elementos que sirven para hacer cálculos que la involucren, y uno de esos elementos es su pendiente, como explicamos en el ejercicio anterior.

Veamos ahora el siguiente caso:

Se tienen dos rectas, l1 y l2, cuyas coordenadas son los puntos A(5, 4), B(-3, 0) y C(-1, 3), D(8, 0), respectivamente. Calcular o encontrar el ángulo de la recta que forman al cortarse.

Si graficamos los datos, tenemos

Recuerden que el ángulo de 45°, que vemos en la figura, no lo conocemos, es lo que debemos averiguar.

Aquí tenemos dos rectas (AB = l1 y CD = l2) definidas solo por pares de coordenadas .

Vaya, pero más arriba aprendimos que para calcular el ángulo entre dos rectas (l1 y l2) debemos conocer la pendiente de cada una.

Acá no está ese dato. Pero si tenemos las coordenadas de los puntos que contienen a esas rectas, podemos calcular las pendientes.

Repasar o ver: Pendiente de la recta

Si vimos la materia indicada, sobre calcular la pendiente (m), sabremos que la fórmula para hacerlo es operando con las respectivas coordenadas en la fórmula

Entonces calculemos m1, para l1, cuyos puntos son

Hemos marcado en rojo cada coordenada en su respectivo eje (x e y).

Reemplazamos los valores en la fórmula

Ahora calculemos m2, para l2, cuyos puntos son

Reemplazamos los valores en la fórmula

Y así tenemos que las pendientes son

Valores que son iguales a los del ejercicio anterior en el que nos entregaban inicialmente el dato de las pendientes.

Entonces, a partir de los puntos que contienen las rectas podemos calcular las pendientes de las mismas, lo cual nos permite averiguar el valor del ángulo entre dos rectas .

EJERCITA TU MENTE 

Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

Forma Punto-Pendiente 

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como y-y1=(x-x1). En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. 

eamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella. 

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente. 

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a . 

 es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente

hallar la ecuación de la recta  que pasa por el punto A (1,5) y tiene una pendiente 2

datos:

m=2

x1=1

y1=5

aplicando la ecuación de la recta en su punto pendiente

y-y1=m(x-x1)

sustituyendo, desarrollando, simplificando y trasponiendo 

y-5=2(x-1)
y-5=2x-2
y=2x-2+5
y=2x-3

2x+y-3=0

ejercita tu mente
 
halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (8,6) y tiene una pendiente=5



halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (6.-7) y que tiene una pendiente=8

Ecuación ordinaria de la recta, conociendo 2 puntos

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también pertenciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

 y 

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: 

que también se puede expresar como 

Ejemplo: 
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) 

                                            y - 2 = x - 1 

                                            x - y + 1 = 0

Hallar ecuación de recta, dado P(-5, 4) y m=-2/3

Ejemplo:
Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de .

Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos . Que es la ecuación de la recta.

ejercita tu mente                                                                                                

1. Hallar las pendientes de las siguientes rectas dadas por dos puntos: a)(2, –5), (6, 1) b)(–3, –1), (2, –2)



2. Obtener la ecuación de la recta que pasa por P y Q: a) P(5, 3), Q(–3, 4) b)P(–3, 5), Q(–2, 3)

Ecuación ordinaria de la recta

La ecuación de la recta se expresa en términos de la pendiente m y la ordenada al origen b.

Si la pendiente m, (la cual representa la inclinación de la recta) es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura (A) y si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura (B), cabe mencionar que (b) representa el valor de la ordenada (y), donde la recta intersecta al eje y .

y = mx +

EJERCITA TU MENTE

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que

 pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5)

.

 De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), 

C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

Ecuación simétrica de la recta

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.





a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

                                          Si y = 0 resulta x = a.

                                          Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k

3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

EJERCITA TU MENTE

 Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Hallar la ecuación en la forma simétrica

Ecuación general de la recta

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

EJERCITA TU MENTE

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director  igual (-2, 1).

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

ECUACIÓN DE RECTA EN SU FORMA NORMAL

La forma normal de la ecuación involucra la distancia de una recta al origen, que por definición, es perpendicular a la recta.

A esa distancia le nombraremos "p", y al ángulo que forma p, le nombraremos ω .

De manera que, la ecuación normal de la recta, se establece:
x cos ω + y cos ω -p =0

EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE LA FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

(Para finalizar los siguientes ejercicios, es necesario, tomar los datos y pasarlos en la forma normal de la ecuación,  y posteriormente para la forma normal a la forma general, una vez expresada la recta en la forma general, se finalizará el ejercicio).
a) Si p=9 y ω=30
b) Si p=4 y ω=45
c) Si p=6 y ω= 60

​
RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS

a) Si p=9 y ω=30
Sustituímos en la forma normal, con los datos que nos brindan.
x cos 30 + y sen 30 - 9 = 0
Como son ángulos notables, es preferente, anotar la fracción, con las fracciones(si es que tiene).
x=cos 30
x=√3/2

y=sen 30
y= 1/2

√3/2x + 1/2 y - 9 = 0
Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador
​√3x + y - 18 = 0

EJERCITA TU MENTE

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x² + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director  igual (-2, 1).